Question

19．已知A，B是抛物线y²=4x上异于原点O的两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
（1）求证：直线AB恒过定点（4，0）
（2）若将$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$改为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=m（m≠0）$，判断直线AB是否经过一定点．若是，请写出m=-2时该定点的坐标（直接写出结论即可）

Answer 1

分析 （1）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．
（2）当m=-2时，无论是直线$y=kx-（2-\sqrt{2}）k$还是直线$y=kx-（2+\sqrt{2}）k$均满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，但第一条直线恒过$（2-\sqrt{2}，0）$，第二条直线恒过$（2+\sqrt{2}，0）$，即可得出结论．

解答 （1）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}{b}$=-1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．
（2）否，当m=-2时，无论是直线$y=kx-（2-\sqrt{2}）k$还是直线$y=kx-（2+\sqrt{2}）k$均满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，但第一条直线恒过$（2-\sqrt{2}，0）$，第二条直线恒过$（2+\sqrt{2}，0）$．

点评 本题考查直线过定点的证明，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．