Question

8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，b=4，则△ABC的面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通过余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，然后求解三角形的面积的最大值．

解答 解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，b=4，
可得：16=b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c=4时等号成立．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×16×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=4\sqrt{3}$，
当且仅当a=c=4时，${（{S_{△ABC}}）_{max}}=4\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．