Question

10．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，S_n=2a_n-1且n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂（S_n+1）（n∈N^*），令T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，则a₁=1；当n＞1时，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此可知{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得答案．
（Ⅱ）利用裂项法进行解答．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，由S₁=2a₁-1，得a₁=1．
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
则S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
所以$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，n≥2，
故数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
${a_n}={2^{n-1}}$（n∈N^*）．
（Ⅱ）因为$1+{S_n}=2{a_n}={2^n}$，
所以b_n=log₂（S_n+1）=n，
因为$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法、分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．