Question

【题目】已知椭圆C:（）的离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆C于另一点E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与x轴相交于定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析.

【解析】

（1）设点O关于直线的对称点为，根据一垂直二平分，解得，再结合离心率为，且椭圆C的中心O关于直线的对称点落在直线上，由求解.

（2）设直线的方程为，且，，则，与椭圆方程联立，通过，解得直线的斜率取值范围；写出直线的方程为，令，得，然后将韦达定理代入求解.

（1）设点O关于直线的对称点为，则

，

解得，

依题意，得，

∴，，，

∴椭圆C的方程是；

（2）设直线的方程为，且，，

则，

由，消去y得，

，

解得，且，

∴直线的斜率取值范围是；

由韦达定理得：，

直线的方程为，

令，解得：

，

，

，

∴直线与x轴交于定点.