Question

函数f（x）=Asin（ωx+?）（A，ω，?为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若f(x-

π

6

)=

6

5

，x∈(0，

π

4

)，求

(1+cos2x)•(2sin2x-1)•tan x 2

tan2 x 2 -1

的值．

Answer 1

分析：（1）由图象可得A=2，

T

4

=

7π

12

-

π

3

，可解得ω，将x=

π

3

代入解析式?值，进而可得解析式；
（2）由（1）可知sin2x，进而可得cos2x，由三角函数的公式化简可得所求的式子为

1

2

sin2xcos2x，代入计算可得．

解答：解：（1）由图象可得A=2，

T

4

=

2π

4ω

=

7π

12

-

π

3

，解得ω=2，
将x=

π

3

代入解析式可得2sin（2×

π

3

+?）=0，
解得2×

π

3

+?=kπ，解得?=kπ-

2π

3

，k∈Z
当k=1时，?=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）由（1）可知f(x-

π

6

)=2sin2x=

6

5

，解得sin2x=

3

5

，
∵x∈（0，

π

4

），∴cos2x=

4

5

∴

(1+cos2x)•(2sin2x-1)•tan x 2

tan2 x 2 -1

=

2cos2x•(-cos2x)• sin x 2 cos x 2 sin2 x 2 cos2 x 2 -1

=

cos2x•(-cos2x)•sinx -cosx

=

1

4

sin4x=

1

2

sin2xcos2x=

6

25

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的运算与化简，属中档题．