Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）定义域和值域都是[1，

b

2

]，求b的值；
（Ⅱ）当a=-1时在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2b-1的图象上方，试确定实数b的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求函数f（x）的解析式f（x）=x^2_-6x+b，函数对称轴为x=3，故在区间[1，3]单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，再分类讨论由函数单调性求最值求值域，解未知量即可，（2）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x^2_-6x+b，函数对称轴为x=3，故在区间[1，3]单调递减，在区间（3，+∞）单调递增．
①当2＜b≤6时，f（x）在区间[1，

b

2

]上单调递减；故有

f(1)= b 2 f( b 2 )=1

，无解；
②当6＜b≤10时，f（x）在区间[1，3}上单调递减，（3，

b

2

]上单调递增，且f（1）≥f（

b

2

），故

f(1)= b 2 f(3)=1

，解得b=10；
③当b＞10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，（3，

b

2

]上单调递增，且f（1）＜f（2b），故

f( b 2 )= b 2 f(3)=1

，无解．∴b的值为10．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=x^2_-x+b，
由题意则x^2_-x+b＞2x+2b-1对x∈[-1，1]恒成立，
化简得b＜x^2_-3x+1，
令g（x）=x^2_-3x+1，x∈[-1，1]，图象开口向上，对称轴为x=

3

2

，在区间[-1，1]上单调递减，则y_min=-1，
则b＜-1．

点评：本题考查函数的值域的求法，二次函数的单调性和最值，注意恒成立问题的转化，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．