题目内容

设函数f(x)=
a
3
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x1，x2∈[-1，1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤
44
3
．
（1）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴-
a
3
x3+bx2-4cx+d=-
a
3
x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=
a
3
x3+4cx，∴f'（x）=ax2+4c．
∴
f′(1)=a+4c=-6
f′(2)=4a+4c=0
，即
a+4c=-6
4a+4c=0
．∴a=2，c=-2．
（2）f(x)=
2
3
x3-8x，f/(x)=2x2-8，当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上为减函数，若x1，x2∈[-1，1]时，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(-1)-f(1)|=
44
3
．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x，y)=(1+
m
y
)x(m＞0，y＞0)．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f(4，y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32，求
4
i=0
ai．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3的值；
（II）设a2=2，求证：数列{bn}为等比数列；
（III）求证：
1
2
≤an＜1．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3，a4的值；
（II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．
（2013•自贡一模）设函数f(x)=x-ln(x+
1+x2
)．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令an=
1
9
(
1
2
)6n+ln[(
1
2
)2n+
1+(
1
2
)4n
](n∈N*)，试证明：a1+a2+a3+…+an＜
1
3
．
设函数f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
1
m
+
1
t
=1，求证：tlo
g
 
2
m+mlo
g
 
2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求证：
lo
g
 
2
a1
a1
+
lo
g
 
2
a2
a2
+
lo
g
 
2
a3
a3
+…+
lo
g
 
2
a2n
a2n
≤n．

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