Question

设函数f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃的值；
（II）设a₂=2，求证：数列{b_n}为等比数列；
（III）求证：

1

2

≤an＜1．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（II）利用等比数列的定义，即可证得结论；
（III）结合数列的通项，利用作差法，即可证明结论．

解答：（I）解：由题意，得an+1=

2an

an+1

，（1分）
因为a1=

1

2

，所以a2=

2

3

，a3=

4

5

，（3分）
（II）证明：因为an+1=

2an

an+1

，
所以

bn+1

bn

=

1-an+1 an+1

1-an an

=

1 an+1 -1

1-an an

=

an+1 2an -1

1-an an

=

1

2

．
所以数列{b_n}是首项b1=

1-a1

a1

=1，公比为

1

2

的等比数列，（7分）
（III）证明：由（II），得bn=

1-an

an

=1×(

1

2

)n-1，（8分）
所以an=

2n-1

2n-1+1

．（9分）
因为an-

1

2

=

2n-1

2n-1+1

-

1

2

=

2×2n-1-2n-1-1

2(2n-1+1)

=

2n-1-1

2n+2

，
且当n∈N^*时，2^n-1-1≥0，2ⁿ+2＞0，
所以an-

1

2

≥0，即an≥

1

2

．（12分）
因为an-1=

2n-1

2n-1+1

-1=

-1

2n-1+1

＜0，
所以a_n＜1．
综上，对于任意n∈N^*，都有

1

2

≤an＜1．（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．