Question

设函数f(x)=

2x

x+1

，且a1=

1

2

，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a₂，a₃，a₄的值；
（II）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=

2an

an+1

，a₁=

1

2

，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（II）由a₁，a₂，a₃，a₄，可猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

，用数学归纳法证明，①当n=1时，去证明结论成立；②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，去证明当n=k+1时，猜想也成立即可．

解答：解：（I）由题意，得a_n+1=

2an

an+1

，（1分）
因为a₁=

1

2

，
所以a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

．（3分）
（II）解：由a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

（5分）
以下用数字归纳法证明：对任何的n∈N*，a_n=

2n-1

2n-1+1

证明：①当n=1时，由已知，左边=

1

2

，右边=

1

1+1

=

1

2

，所以等式成立．（7分）
②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即a_k=

2k-1

2k-1+1

，（8分）
则n=k+1时，a_k+1=

2ak

ak+1

=

2× 2k-1 2k-1+1

2k-1 2k-1+1 +1

=

2k

2k-1+2k-1+1

=

2k

2k+1

=

2(k+1)-1

2(k+1)-1+1

．
所以当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，证明时用好归纳假设是关键，突出考查推理与证明的能力，属于中档题．