Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝BC＝2，CD＝SD＝1，又SD⊥面SAB．

（1）证明：CD⊥SD；

（2）证明：CM∥面SAD；

（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）．

【解析】

（1）由平面证得，结合，证得

（2）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.

（3）通过求，结合，求得四棱锥的体积.

（1）证明：由SD⊥面SAB，AB面SAB，

所以SD⊥AB，又AB∥CD，

所以CD⊥SD；

（2）取SA中点N，连接ND，NM，

则NM∥AB，且MN，AB∥CD，

所以NMCD是平行四边形，

ND∥MC，且ND平面SAD，MC平面SAD，

所以CM∥面SAD；

（3）VS﹣ABCD：VS﹣ABD＝SABCD：S△ABD＝3：2，

过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD＝AD，

在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA＝SB2．

所以，，/span>

四棱锥S﹣ABCD的体积为：．