Question

3．如果△ABC的内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，如果a、b、c成等比数列，
（1）如果c=2a，求角cosB；
（2）如果△ABC的面积为$\frac{2}{5}$，且b=1，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列以及余弦定理即可求出cosB的值．
（2）利用三角形面积公式可求sinB，从而可求cosB的值，利用正弦定理，余弦定理即可求得sinA+sinC的值．

解答 解：（1）由题意可知：b²=ac，c=2a（3分）
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$（6分）
=$\frac{{a}^{2}+（2a）^{2}-a•2a}{2a•2a}$=$\frac{3}{4}$．（12分）
（2）∵b=1，b²=ac，△ABC的面积为$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$sinB，解得：sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得1=（a+c）²-2ac-2ac×$\frac{3}{5}$=（a+c）²-2-2×$\frac{3}{5}$，解得：a+c=$\frac{\sqrt{105}}{5}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{\frac{4}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinA+sinC=$\frac{a}{\frac{4}{5}}+\frac{c}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5（a+c）}{4}$=$\frac{5}{4}×$$\frac{\sqrt{105}}{5}$=$\frac{\sqrt{105}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了等比数列的基本性质，考查计算能力，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．