Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率的取值范围是e∈[

2 3

3

，2]，则两渐近线夹角的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线方程中a，b和c的关系即离心率的范围，进而求得

b

a

，设两渐近线构成的角为θ，则可值tan

θ

2

=

b

a

，求得θ的范围．

解答：解：∵e=

c

a

，e∈[

2 3

3

，2]，
∴

2 3

3

≤

c

a

=

a2+b2

a

≤2
解得

3

3

≤

b

a

≤

3

，
设两渐近线构成的角为θ
则渐近线的斜率k=tan

θ

2

∴tan

θ

2

=

b

a

即

3

3

≤tan

θ

2

=≤

3

，
∴

π

6

≤

θ

2

≤

π

3

∴

π

3

≤θ≤

2π

3

∴两渐近线夹角的取值范围是[

π

3

，

2π

3

]
故答案为[

π

3

，

2π

3

]

点评：本题主要考查双曲线的简单性质．要熟练掌握双曲线标准方程中a和b的关系，及与c和离心率e的关系．