Question

（22）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

f（a·b）=af（b）+bf（a）.

 

（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

 

（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

 

（Ⅲ）若f（2）=2，u_n=（n∈N），求数列｛u_n｝的前n项的和S_n.

Answer 1

（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0

因为f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）

所以f（1）=0

 

（Ⅱ）f（x）是奇函数

证明：因为f（1）=f［（－1）²］=－f（－1）－f（－1）=0，

所以f（－1）=0

f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）

因此，f（x）为奇函数.

 

（Ⅲ）解法一：由f（a²）=af（a）+af（a）=2af（a），

f（a³）=a²f（a）+af（a²）=3a²f（a），

猜测f（aⁿ）=na^n－1f（a）.

下面用数学归纳法证明：

1°.当n=1时，f（a¹）=1·a⁰·f（a），公式成立；

2°.假设当n=k时，f（a^k）=ka^k－1f（a）成立，

那么当n=k+1时，

f（a^k+1）=a^kf（a）+af（a^k）

=a^kf（a）+ka^kf（a）

=（k+1）a^kf（a），公式仍成立.

由上两步可知，对任意n∈N，f（aⁿ）=na^n－1f（a）成立.

 

所以u_n=.

因为f（2）=2，f（1）=f（2·）=2f（）+f（2）=0，

所以f（）=－f（2）=－，

u_n=（－）·（）^n－1（n∈N），

 

因此S_n=－1（n∈N）.

 

解法二：当ab≠0时，，

令g（x）=，则g（a·b）=g（a）+g（b），

故g（aⁿ）= ng（a），

所以f（aⁿ）=aⁿ·g（aⁿ）=naⁿg（a）=na^n－1f（a）.

 

所以u_n=·.

（以下同解法一）.