Question

（22）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：

f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅲ）若f（2）=2，u_n=f（2ⁿ）（n∈N），求证u_n+1＞u_n（n∈N）.

Answer 1

（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0，

    由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），得f（1）=0.

 

（Ⅱ）f（x）是奇函数

证明：因为f（1）=f［（－1）²］=－f（－1）－f（－1）=0，

所以f（－1）=0，

f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x），

因此，f（x）为奇函数，

 

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明u_n=f（2ⁿ）＞0（n∈N）.

（1）当n=1时，u₁=f（2）=2＞0;

（2）假设当n=k时，u_k=f（2^k）＞0，

那么当n=k+1时，u_k+1=f（2^k+1）=2f（2^k）+2 ^kf（2）=2f（2 ^k）+2 ^k+1＞0.

由以上两步可知，对任意n∈N，u_n=f（2ⁿ）＞0.                 

因为  u_n＞0（n∈N），

所以  u_n+1=f（2ⁿ⁺¹）=2f（2ⁿ）+2ⁿf（2）

          =2u_n+2ⁿ⁺¹＞u_n （n∈N）.