题目内容
数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，
-
=
；
（Ⅱ）设a1=-1，求Sn的表达式；
（Ⅲ）设a1=-1，且{
}是等差数列（pq≠0），求证：
是常数．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| Sn+1 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）设a1=-1，求Sn的表达式；
（Ⅲ）设a1=-1，且{
| n |
| (pn+q)Sn |
| p |
| q |
（1）证明：由题意得，当n≥1时，
=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
?
-
=
．…（4分）
（2）由（1）得：
-
=-
及a1=-1
可知：数列{
}是以-1为首项，以-
为公差的等差数列，
可求得：Sn=-
．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-
，且{Cn}是等差数列，设公差为d．
则-n2-n=…=2dpn2+[2dq+2p（c1-d）]n+2q（c1-d），
所以c1-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c1-d）=-1，即2dp=2dq?p=q，
所以
=1（常数）．…（13分）
| S | 2n+1 |
?
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| Sn+1 |
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）得：
| 1 |
| Sn+1 |
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 2 |
可知：数列{
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 2 |
可求得：Sn=-
| 2 |
| n+1 |
（3）由（2）得Cn=-
| n2+n |
| 2(pn+q) |
则-n2-n=…=2dpn2+[2dq+2p（c1-d）]n+2q（c1-d），
所以c1-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c1-d）=-1，即2dp=2dq?p=q，
所以
| p |
| q |
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