题目内容
【题目】已知点A(0，－2)，椭圆E： 
(a>b>0)的离心率为
，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：设出
，由直线
的斜率为
求得
，结合离心率求得
，再由隐含条件求得
，即可求椭圆方程；（2）点
轴时，不合题意；当直线
斜率存在时，设直线
，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得
的范围，再由弦长公式求得
，由点到直线的距离公式求得
到
的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出
值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设
，因为直线
的斜率为
， 
所以
， 
.
又
解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）解：设
由题意可设直线
的方程为： 
，
联立
消去
得
，
当
，所以
，即
或
时
.
所以
点
到直线
的距离
所以
，
设
，则
，
，
当且仅当
，即
，
解得
时取等号，
满足
所以
的面积最大时直线
的方程为： 
或
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
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