Question

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

（1）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；（2）．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）求导，利用零点存在定理判定在总存在零点.

规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

试题解析：（1）根据题意知，，

当时，的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．

（2）∵，∴，

∴.

∴，

∴.

∵在区间上总不是单调函数，且，

∴

由题意知：对于任意的，恒成立，

∴

∴.

考点：1.函数的单调性；2.函数的单调性的逆用.