Question

18．已知cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$≤α+β＜2π，求cos2β的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）与cos（α+β）的值，所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$≤α+β＜2π，
∵cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\sqrt{1-（-\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
则cos2β=cos[（α-β）-（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）+sin（α-β）sin（α+β）=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-1．

点评 此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．