Question

12．（1）已知 f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，则二项式 （x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中x²项的系数为多少．
（2）某校高三年级从2名教师和4名学生中选出3人，分别组建成不同的两支球队进行双循环师生友谊赛．要求每支球队中有且只有一名教师，则不同的比赛方案共有几种．

Answer 1

分析 （1）由跳进利用绝对值三角不等式求得n=6，先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x²的项的系数．
（2）先把2名教师分组，再把4名学生分组，再利用分步计数原理求得求得不同的比赛方案种数．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+2|+|x-4|≥|x+2-（x-4）|=6，
当且仅当-2≤x≤6时．取等号，故f（x）的最小值为6，故n=6，
则二项式 （x-$\frac{1}{x}$）⁶展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^6-2r，
令6-2r=2，求得r=2，故展开式中x²项的系数为${C}_{6}^{2}$=15．
（2）把2名教师分成两组，只有一种方法，再把4名学生平均分成2组，方法有${C}_{4}^{2}$=6种方法，
由于两支球队进行双循环师生友谊赛所有的比赛方法，故所有的比赛方法有${C}_{2}^{1}$•1•${C}_{4}^{2}$=12种．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式．还考查了排列组合的基本知识，属中档题．