Question

【题目】过轴正半轴上一点做直线与抛物线交于，，两点，且满足，过定点与点做直线与抛物线交于另一点，过点与点做直线与抛物线交于另一点.设三角形的面积为，三角形的面积为.

（1）求正实数的取值范围；

（2）连接，两点，设直线的斜率为；

（ⅰ）当时，直线在轴的纵截距范围为，则求的取值范围；

（ⅱ）当实数在（1）取到的范围内取值时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）

【解析】

（1）设过点的直线为,与抛物线联立可得,利用韦达定理可得,则可得,代入中,进而由求解即可；

（2）（ⅰ）设过点的直线为,过点的直线,分别与抛物线联立,利用韦达定理和直线的斜率公式可得,根据直线在轴的纵截距范围为,即可求得的范围,进而得到,即的范围；

（ⅱ）由,根据（1）和（ⅰ）求解即可.

（1）设过点的直线为,

联立可得,且,

设,,

所以,则,

因为,所以,

解得

（2）由题,设,,,,

（ⅰ）设过点的直线为,过点的直线,

联立可得,

联立可得,

所以,

所以,

因为直线在轴的纵截距范围为,设截距为,

因为,则,所以,则

（ⅱ）,,

由（1）可知,由（ⅰ）可知,

因为,

所以