Question

已知函数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1+2e

x

-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上为增函数，
∴g′（x）=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，

xsinθ-1

x2sinθ

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使xsinθ-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需1×sinθ-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=0时，f（x）=

1-2e

x

-lnx，f′（x）=

(2e-1)-x

x2

，
当0＜x＜2e-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）的增区间是（0，2e-1），减区间是（2e-1，+∞），当x=2e-1时，f（x）取得极大值f（2e-1）=-1-ln（2e-1）．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=mx-

m+2e

x

-2lnx，
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②当m＞0时，F′（x）=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x） max=F（e）=me-

m

e

-4，
只要me-

m

e

-4＞0，解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）