Question

已知函数g(x)=1-cos(πx+2φ)(0＜φ＜

π

2

)的图象过点(

1

2

，  2)，若有4个不同的正数x_i满足g（x_i）=M（0＜M＜1），且x_i＜4（i=1，2，3，4），则x₁+x₂+x₃+x₄等于

 

．

Answer 1

分析：先由g（x）过点(

1

2

，  2)，求得φ，进而求得函数g（x），再由g（x）=M 在两个周期之内有四个解，则在一个周期内必有两个解，表示出四个解来相加可得．

解答：解：∵g（x）过点(

1

2

，  2)，
∴1-cos(π×

1

2

+2φ)= 2
即cos(

π

2

+2φ)= -1
即

π

2

+2φ= (2k+1)π(k∈z)
又0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

4

∴g(x)=1-cos(πx+

π

2

)
∵g（x）=M 在两个周期之内有四个解，
∴在一个周期内有两个解
cos(πx-

π

2

) =1-M
 πx+

π

2

=arccos(1-M)
πx+

π

2

=2π+arccos(1-M)
πx+

π

2

=2π-arccos(1-M)
πx+

π

2

=4π-arccos(1-M)
以上四式相加得：
 x₁+x₂+x₃+x₄=6
故答案为：6

点评：本题主要考查三角函数的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相应的规律，与周期有关．