Question

已知函数g(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，则函数g（x+3）的零点所在的区间为（　　）

• A、（-1，0）
• B、（-4，-3）
• C、（-3，-2）或（-2，-1）
• D、（1，2）

Answer 1

分析：根据g（0）•g（-1）＜0可判定g（x）在（-1，0）上存在零点，然后利用导数研究函数的单调性可得零点的个数，最后根据函数图象的平移可得结论．

解答：解：∵g(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴g（0）=1，g（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2013

＜0，
∴g（0）•g（-1）=g（-1）＜0，
当x∈（-1，0）时，g′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹¹+x²⁰¹²=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

＞0，
∴g（x）在（-1，0）上是增函数，故g（x）恰有一个零点，
∵函数g（x+3）是由函数g（x）向左平移3个单位得到，
∴函数g（x+3）的零点所在的区间为（-4，-3）．
故选：B．

点评：本题主要考查了函数零点的判定定理，以及利用导数研究函数的单调性和等比数列求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．