Question

已知函数g(x)=

1-2x

1+2x

．判断并证明函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析：g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，由2^x在R上单调递增，知

2

1+2x

在R上单调递减，所以g(x)=

1-2x

1+2x

为单调减函数．

解答：解：函数g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

是减函数．
证明：g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
①在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
②g（x₁）-g（x₂）=(-1+

2

1+2x 1

)-(-1+

2

1+2x2

)
=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1) (1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，2^x在R上单调递增，
∴2x2-2x1＞0，(1+2x1) (1+2x2) ＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

＞0，
∴函数g(x)=

1-2x

1+2x

是减函数．

点评：本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用．