题目内容
定义：max{x，y}表示x、y两个数中的最大值，min{x，y}表示x、y两个数中的最小值．给出下列4个命题：
①max{x1，x2}≥a?x1≥a且x2≥a；
②max{x1，x2}≤a?x1≤a且x2≤a；
③设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max；
④若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
对称，则t的值为1．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
①max{x1，x2}≥a?x1≥a且x2≥a；
②max{x1，x2}≤a?x1≤a且x2≤a；
③设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max；
④若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
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其中真命题是
考点：命题的真假判断与应用
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：①，由max{x1，x2}≥a?x1≥a或x2≥a，可判断①；
②，由max{x1，x2}≤a知x1≤a且x2≤a，可判断②；
③，依题意，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max，可判断③；
④，作出函数f（x）=min{|x|，|x+t|}关于直线x=-
对称的图象，可求得t的值，可判断④．
②，由max{x1，x2}≤a知x1≤a且x2≤a，可判断②；
③，依题意，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max，可判断③；
④，作出函数f（x）=min{|x|，|x+t|}关于直线x=-
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解答：
解：对于①，max{x1，x2}≥a?x1≥a或x2≥a，故①错误；
对于②，max{x1，x2}≤a?x1≤a且x2≤a，故②正确；
对于③，设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max，故③正确；
对于④，若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
对称，作图如下：
图象中的右边是y=|x|，左边是y=|x+t|，因为函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
对称，
所以y=|x|与y=|x+t|的交点横坐标为x=-
，易知AB的中点横坐标为x=-
，
所以A（-1，0），故有：t=1，故④正确；
故答案为：②③④．
对于②，max{x1，x2}≤a?x1≤a且x2≤a，故②正确；
对于③，设函数f（x）和g（x）的公共定义域为D，若x∈D，f（x）≥g（x）恒成立，则[f（x）]min≥[g（x）]max，故③正确；
对于④，若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
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图象中的右边是y=|x|，左边是y=|x+t|，因为函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-
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所以y=|x|与y=|x+t|的交点横坐标为x=-
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所以A（-1，0），故有：t=1，故④正确；
故答案为：②③④．
点评：本题考查函数的最值问题，着重考查恒成立问题与函数的对称性，作图是关键，也是难点，属于难题．
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