Question

已知点A（3，0），B在x轴上，点M在直线x=1上移动，且

MA

•

MB

=0，动点C满足

MC

=3

BC

，
（1）求点C的轨迹D的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）与曲线D有两个不同的交点E、F，设P（-1，0），当∠EPF为锐角时，求k，的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设B（b，0），M（1，m），C（x，y），运用向量的数量积的坐标公式，以及向量的运算，解出b，m，再代入即可得到轨迹方程；
（2）联立直线方程和曲线方程，消去y，得到二次方程，解出交点E，F，求出向量PE，PF的坐标，由于∠EPF为锐角?

PE

•

PF

＞0且

PE

，

PF

不共线，列出不等式，解出即可得到k的范围．

解答： 解：（1）设B（b，0），M（1，m），C（x，y），
则由

MA

•

MB

=0，得（3-1，-m）•（b-1，-m）=0，
即有2（b-1）+m²=0，
又

MC

=3

BC

，则有，x-1=3（x-b），且y-m=3y，即为b=

2x+1

3

，m=-2y，
代入上式，得，2（

2x+1

3

-1）+4y²=0，
化简即得，点C的轨迹D的方程是y²=

1-x

3

；
（2）设交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由y=k（x-1）和y²=

1-x

3

，联立方程，消去y，得，3k²x²-（6k²-1）x+3k²-1=0，
解得x₁=1，x₂=1-

1

3k2

，则y₁=0，y₂=-

1

3k

，
∠EPF为锐角?

PE

•

PF

＞0且

PE

，

PF

不共线，
即有（2，0）•（2-

1

3k2

，-

1

3k

）＞0且-

2

3k

≠0，
即2-

1

3k2

＞0，解得，k＞

6

6

或k＜-

6

6

．

点评：本题考查轨迹方程的求法：代入法，考查直线方程和曲线方程联立，消去未知数，求出交点，考查向量数量积的运用解决角的问题，考查运算能力，属于中档题．