Question

8．如图，已知在△ABC中，AE，AD分别为其角平分线和中线，△ADE的外接圆为⊙O，⊙O与AB，AC分别交于M，N，求证：
（Ⅰ）$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$；
（Ⅱ）BM=CN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过C作CF∥AB，CF与AE的延长线交于F，∠BAE=∠CAE，∠F=∠CAE，AC=CF．可得△ABE∽△FCE，$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$；
（Ⅱ）由割线定理可得BM•BA=BD•BE，CN•CA=CE•CD，由BD=CD，可知$\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BD\;•\;BE}{CE\;•\;CD}=\frac{BE}{CE}$，由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$，化简易得结论．

解答 解：（Ⅰ）证明：过C作CF∥AB，CF与AE的延长线交于F，
∴∠F=∠BAF．
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠F=∠CAE，
∴AC=CF．
∵△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$．…（5分）
（Ⅱ）由割线定理可得BM•BA=BD•BE，

∵BD=CD，
∴$\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BD\;•\;BE}{CE\;•\;CD}=\frac{BE}{CE}$，
由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BM\;•\;BA}{CN\;•\;CA}=\frac{BM}{CN}\;•\;\frac{BA}{CA}=\frac{BM}{CN}\;•\;\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BM}{CN}=1$，
即BM=CN．…（10分）

点评 本题主要考查平面几何证明，考查了三角形的相似、直线与圆相切的性质，割线定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．