Question

16．已知函数f（x）=-（x-2）²+1，函数$g（x）=2sin（\frac{π}{6}x）sin（\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}）+a（a∈R）$，若存在x₁，x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{9}{2}$，1]．

Answer 1

分析 化简g（x），求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令两值域有公共解即可．

解答 解：f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2，
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）=1，最小值为f（4）=-3．
∴f（x）的值域为[-3，1]，
g（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$）[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{π}{6}x$]+a=sin²（$\frac{π}{6}x$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}x$）cos（$\frac{π}{6}x$）+a
=$\frac{1-cos（\frac{π}{3}x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}x$+a=sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∵x∈[1，4]，∴$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴a≤g（x）≤$\frac{3}{2}$+a，即g（x）的值域为[a，a+$\frac{3}{2}$]．
∵存在x₁，x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[-3，1]∩[a，a+$\frac{3}{2}$]≠∅．
-3≤a≤1或-3≤a+$\frac{3}{2}$≤1，
解得-$\frac{9}{2}$≤a≤1．
故答案为[-$\frac{9}{2}$，1]．

点评 本题考查了函数值域的求法，三角函数恒等变换，集合的关系，属于中档题．