Question

设{a_n}是公比q＞1的等比数列，Sn为其前n项和，s₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n+lna_3n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和Tn．

Answer 1

解：（1）由题意s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，可得 ，解得 ，或 ．
再由公比q＞1可得，∴a_n=2^n-1 （n∈N^*）．
（2）由于数列{b_n}满足b_n=n+lna_3n+1（n∈N^*），即b_n=n+ln2³ⁿ=n（3ln2+1），∴b_n+1 =（n+1）（3ln2+1），
∴b_n+1-b_n=3ln2+1 为常数，故数列{b_n}是以 3ln2+1为首项，以 3ln2+1为公差的等差数列．
∴数列{b_n}的前n项和Tn== （n²+n）．
分析：（1）由题意s₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，求出首项和公比，从而求得数列{a_n}的通项公式．
（2）化简b_n为 n（3ln2+1），可得数列{b_n}是以 3ln2+1为首项，以 3ln2+1为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和Tn 的值．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式，等差关系的确定，等比数列的通项公式，属于中档题．