题目内容

近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．
（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．
分析：（1）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由间接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天数x分布列和期望．
解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是P1=(
1
2
)3(
4
5
)2=
2
25
，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p1=
92
100
=
46
50
=
23
25
．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（
1
2
）3C
 
1
2
•
4
5
×
1
5
+C
 
1
3
•（
1
2
）3（
4
5
）2=
7
25
，…（5分）
P（x=3）=
C
2
3
（
1
2
）3（
4
5
）2+C
 
1
3
（
1
2
）3C
 
1
2
（
1
5
）（
4
5
）+（
1
2
）3（
1
5
）2=
73
200
，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C
 
2
3
（
1
2
）3（
1
5
）2+C
 
1
3
（
1
2
）3C
 
1
2
（
1
5
）×（
4
5
）+（
1
2
）3×（
4
5
）2=
43
200
，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=
11
200
，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（
1
2
）3（
1
5
）2=
1
200
，…（9分）
不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）
x 0 1 2 3 4 5
P
1
200
11
200
43
200
73
200
7
25
2
25
不需要人工降雨的天数x的期望是：
F1=0×
1
200
+1×
11
200
+2×
43
200
+3×
73
200
+4×
7
25
+5×
2
35
=3.1．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．
练习册系列答案
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近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得知，某地在未来3天的指定时间的降雨概率是：前2天均为50%，后1天为80%．3天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．

 
近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．
（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．
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（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望．

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