Question

1．已知⊙O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，P是⊙O上任意一点，则AP+$\sqrt{2}$BP的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接OA、OE、OB，OB交⊙O于点P，此时BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP的值最小；由⊙O是正方形ABCD的内切圆得出BE=OE=OP=$\frac{1}{2}$BC=1，OE⊥BC，OA⊥OB，OB=OA=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$，得出BP，由勾股定理求出AP，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
取AO的中点F
所以$\frac{PO}{FO}$=$\frac{AO}{PO}$=$\sqrt{2}$，又∠POF=∠AOP
所以△POF～△AOP
所以PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
所以F，P，B三点共线时BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP取最小值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
所以$\sqrt{2}$（BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP）=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{5}$

点评 本题考查了正方形的性质、正方形的内切圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．