题目内容

函数y=sin2x+2cosx在区间上的最小值为，最大值为2，则α的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：由已知中函数y=sin2x+2cosx，由同角三角函数的基本关系，我们可将函数的解析式化为y=-（cosx-1）2+2的形式，进而根据函数的最小值为，最大值为2，可求出cosx∈[-，1]，结合已知中x∈及余弦函数的图象和性质，即可得到α的范围．
解答：解：∵函数y=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-（cosx-1）2+2
若在区间上的最小值为，最大值为2，
则cosx∈[-，1]
又∵x∈
∴α∈
故选C
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．
练习册系列答案
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设定义在区间(0，
π
2
)上的函数y=sin2x的图象与y=
1
2
cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为
15
15
15
15
．
给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
 

①函数y=sin(2x+
π
6
)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移
π
6
单位得到；
②△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A=60°，a=7，则b+c不可能等于15；
③若函数f（x）的导数为f'（x），f（x0）为f（x）的极值的充要条件是f'（x0）=0；
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点．
给出下列命题：
①函数y=sin（
2
3
x+
7π
2
）是偶函数；
②函数y=2|x|的最小值是1；
③函数y=ln（x2+1）的值域是R；
④函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位，得到y=sin（2x+
π
4
）的图象
⑤函数f（x）=2x-x2只有两个零点；
其中正确命题的序号是
①②⑤
①②⑤
．
把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移
π
6
个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+
π
6
）；  
②该函数图象关于点（
π
3
，0）对称；　
③该函数在[0，
π
6
]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[0，
π
2
]上的最小值为
3
，则a=2
3
．
其中，正确判断的序号是
②④
②④
．
函数y=sin2x的图象在点P(
π
6
，
1
4
)处的切线的斜率是
3
2
3
2
．

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