题目内容

设定义在区间(0，
π
2
)上的函数y=sin2x的图象与y=
1
2
cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为
15
15
15
15
．
分析：两函数图象的交点横坐标为α，即当x=α时，两函数值相等，结合α∈(0，
π
2
)，利用二倍角公式化简三角方程，利用同角三角函数基本关系式求值即可
解答：解：依题意，sin2α=
1
2
cosα  α∈(0，
π
2
)
∴2sinαcosα=
1
2
cosα
即sinα=
1
4
，∴cosα=
1-sin2α
=
1-
1
16
=
15
4

∴tanα=
sinα
cosα
=
1
4
15
4
=
15
15

故答案
15
15
点评：本题考查了方程与函数的关系，二倍角公式，同角三角函数基本关系式的运用
练习册系列答案
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设定义在区间(0，
π2
)上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为
 
．
设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量
OA
=（x1，f（x1）），
OB
=(x2，  f(x2))，
OM
=（x，y），当实数λ满足x=λ x1+（1-λ） x2时，记向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
．定义“函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指“|
MN
|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[em，em+1]（m∈R）上可在标准k=
1
8
下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）
设定义在区间[-1，1]上的偶函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=
a3
(x-2)-4(x-2)3 （0＜a＜36），求f（x）的最大值与最小值．
已知函数f(x)=ax+
2
x
+6，其中a为实常数．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

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