Question

已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求正实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的圆的两条弦互相垂直，设分别为圆心到弦的距离．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求两弦长之积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）3（Ⅱ）10

试题分析：本题第（1）问，本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（要求过点M的切线l的斜率，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案；
第（2）问，由基本不等式可求出两弦长之积的最大值．
解：（１）
得

∴切线方程为即
（Ⅰ）当都不过圆心时，
设于，则为矩形，

当中有一条过圆心时，上式也成立
（Ⅱ）
∴

（当且仅当时等号成立）
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查分类讨论思想与转化思想.