Question

已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程.

Answer 1

(1)见解析；(2)(x－2)²＋(y－1)²＝5.

试题分析：(1)先求出圆的方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，然后求S_△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，由C、H、O三点共线求出t＝2或t＝－2，从而得出圆方程.此题注意圆方程的取舍.
试题解析： (1)证明　由题设知，圆C的方程为(x－t)²＋²＝t²＋，
化简得x²－2tx＋y²－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B，∴S_△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．
(2)解　∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1).
∴圆C的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝5或(x＋2)²＋(y＋1)²＝5，
由于当圆方程为(x＋2)²＋(y＋1)²＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.
∴圆C的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝5.