Question

已知 t=

-u2+7u-7

u-1

（u＞1），且关于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3）
• B、（-3，+∞）
• C、（3，+∞）
• D、（-∞，3）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：u＞1，可得u-1＞0．t=

-u2+7u-7

u-1

=-[（u-1）+

1

u-1

]+5，利用基本不等式的性质可得t∈（1，3]．
不等式t²-8t+m+18＜0，化为m＜-t²+8t-18，因此关于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解?m＜（-t²+8t-18）_max．利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵u＞1，∴u-1＞0．
∴t=

-u2+7u-7

u-1

=

-(u-1)2+5(u-1)-1

u-1

=-[（u-1）+

1

u-1

]+5≤-2

(u-1)• 1 u-1

+5=3，当且仅当u=2时取等号．
∴t∈（1，3]．
∵不等式t²-8t+m+18＜0，化为m＜-t²+8t-18，
∴关于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解?m＜（-t²+8t-18）_max．
令f（t）=-t²+8t-18=-（t-4）²-2≤f（3）=-3．
因此m＜-3．
故选：A．

点评：本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．