Question

20．已知函数f（x）=x²（x-a），其中a为正实数．
（1）当x∈（0，1）时函数f（x）的图象上任意一点P处的切线斜率为k，若k≥-1，求a的范围；
（2）若a=-2，求曲线过点Q（-1，f（-1））的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得当x∈（0，1）时，3x²-2ax≥-1恒成立，运用参数分离和基本不等式即可得到右边的最小值，即可得到a的范围；
（2）设出切点，求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入Q（-1，1），解方程可得切点，进而得到切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=x²（x-a）的导数为
f′（x）=2x（x-a）+x²=3x²-2ax，
由题意可得当x∈（0，1）时，3x²-2ax≥-1恒成立，
即有2a≤3x+$\frac{1}{x}$，
由3x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{3x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当3x=$\frac{1}{x}$即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈（0，1）时，取得等号．
即有2a≤2$\sqrt{3}$，
则0＜a≤$\sqrt{3}$，
即有a的取值范围是（0，$\sqrt{3}$]．
（2）函数f（x）=x²（x+2）的导数为
f′（x）=2x（x+2）+x²=3x²+4x，
设切点为（m，n），则n=m³+2m²，
f（x）在x=m处的斜率为3m²+4m，
即有切线方程为y-n=（3m²+4m）（x-m），
代入Q（-1，1），可得1-m³-2m²=（3m²+4m）（-1-m），
整理可得（m+1）²（2m+1）=0，
解得m=-1或-$\frac{1}{2}$，
即有所求切线的方程为y-1=-（x-1）或y-1=-$\frac{5}{4}$（x+!），
即为y=-x或y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求最值，运用基本不等式和正确求导是解题的关键．