Question

15．设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=$\sum_{i=1}^5{[m\sqrt{\frac{k+1}{i+1}}]}$，其中，[a]表示不大于a的最大整数，求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f（m，k）=n．

Answer 1

分析 根据新定义，进行推理和证明即可．

解答 证明：定义集合A={m$\sqrt{k+1}$|m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集．由于对任意k、i∈P且k≠i，$\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$是无理数，
则对任意的k₁、k₂∈P和正整数m₁、m₂，${m}_{1}\sqrt{{k}_{1}+1}$=${m}_{2}\sqrt{{k}_{2}+1}$，
当且仅当m₁=m₂，k₁=k₂．由于A是一个无穷集，
现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列．对于任意的正整数n，设此数列中第n项为m$\sqrt{k+1}$．下面确定n与m、k的关系．若${m}_{1}\sqrt{i+1}$$≤m\sqrt{k+1}$，
则${m}_{1}≤m•\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$．由m₁是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的m₁的个数为[$m\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$]．
从而n=$\sum_{i=1}^{5}$[$m\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{i+1}}$]=f（m，k）．
因此对任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f（m，k）=n．

点评 本题为创新概念题，做题时，需紧扣新概念，难度较大．