题目内容
5．已知等差数列{an}中，a8=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x-2cos2$\frac{x}{2}$，设cn=f（an），则数列{cn}的前15项的和为（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 15 | D． | -15 |
分析 等差数列{an}中，a8=$\frac{π}{2}$，可得a1+a15=a2+a14=…=2a8=π．函数f（x）=sin2x-2cos2$\frac{x}{2}$=sin2x-cosx-1，又cn=f（an），可得c1+c15=f（a1）+f（a15）=2sin（a1+a15）cos（a1-a15）-2=-2．即可得出．
解答 解：∵等差数列{an}中，a8=$\frac{π}{2}$，
∴a1+a15=a2+a14=…=2a8=π
函数f（x）=sin2x-2cos2$\frac{x}{2}$=sin2x-cosx-1，
又cn=f（an），
∴c1+c15=f（a1）+f（a15）=sin2a1-cosa1-1+sin2a15-cosa15-1=2sin（a1+a15）cos（a1-a15）-2=-2．
f（a8）=$sinπ-cos\frac{π}{2}$-1=-1．
∴数列{cn}的前15项的和=-2×7-1=-15．
故选：D．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数的化简，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | f（2${\;}^{\frac{1}{8}}$）＞f（（$\frac{1}{8}$）2）＞f（log2（$\frac{1}{8}$）） | B． | f（（$\frac{1}{8}$）2）＞f（2${\;}^{\frac{1}{8}}$）＞f（log2（$\frac{1}{8}$）） | ||
| C． | f（2${\;}^{\frac{1}{8}}$）＞f（log2（$\frac{1}{8}$））＞f（（$\frac{1}{8}$）2） | D． | f（（$\frac{1}{8}$）2）＞f（log2（$\frac{1}{8}$））＞f（2${\;}^{\frac{1}{8}}$） |