Question

19．已知直角△AOB的面积为1，O为直角顶点．设向量$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值为1．

Answer 1

分析 设$\overline{OA}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=y$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$，得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$关于x，y的函数，利用基本不等式得出最值．

解答 解：设OA=x，OB=y，则xy=2，$\overline{OA}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=y$\overrightarrow{b}$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．
∵$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=1．
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=（x-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{a}$+（y-2）$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=[（x-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$]•[-$\overrightarrow{a}$+（y-2）$\overrightarrow{b}$]=（1-x）${\overrightarrow{a}}^{2}$-2（y-2）${\overrightarrow{b}}^{2}$=5-（x+2y）．
∵x+2y≥2$\sqrt{2xy}$=4．
∴5-（x+2y）≤1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，基本不等式的应用，属于中档题．