从某校的一次学料知识竞赛成绩中.随机抽取了50名同学的成绩.统计如下: 组别[30.40][40.50][50.60][60.70][70.80][80.90][90.100] 频数 3 10 12 15 6 2 2(Ⅰ)求这50名同学成绩的样本平均数$\overline{x}$(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),(Ⅱ)由频数分布表可以认为.本次学科知识竞赛的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：

组别	[30，40]	[40，50]	[50，60]	[60，70]	[70，80]	[80，90]	[90，100]
频数	3	10	12	15	6	2	2

（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数$\overline{x}$（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数$\overline{x}$．
①利用该正态分布．求P（Z＞74）；
②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ-2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

分析（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数$\overline{x}$；
（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60-14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；
②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．

解答解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：
样本平均数$\overline{x}$=$\frac{1}{50}$×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；
（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60-14＜Z＜60+14）=0.6826，
∴P（Z＞74）=$\frac{1}{2}×$（1-0.6826）=0.1587，
②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），
∴EX=20×0.1587=3.174．

点评本题主要考查利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这50名同学成绩的样本平均数，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．