Question

已知点E（4cosα，0），F（0，4sinα）（α∈R）为平面直角坐标系xOy中的点，点P为线段EF的中点，当α变化时，点P形成的轨迹π与x轴交于点A，B（A点在左侧），与y轴正半轴交与点C．
（1）求P点的轨迹π的方程；
（2）设点M是轨迹π上任意一点（不在坐标轴上），直线CM交x轴于点D⊥，直线BM交直线AC于点N．
①若D点坐标为（2

3

，0），求线段CM的长；
②求证：2k_ND-k_MB为定值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出P（2cosα，2sinα）（α∈R），消元可得P点的轨迹π的方程；
（2）①求出CM的方程，圆心到直线CM的距离，即可求弦CM的长；
②确定N，D的坐标，表示出2k_ND-k_MB，即可证明2k_ND-k_MB为定值．

解答： 解：（1）∵点E（4cosα，0），F（0，4sinα）（α∈R）为平面直角坐标系xOy中的点，点P为线段EF的中点，
∴P（2cosα，2sinα）（α∈R），
∴P点的轨迹π的方程为x²+y²=4；
（2）①CM：x+

3

y-2

3

=0，圆心到直线CM的距离d=

2 3

1+3

=

3

，
∴弦CM的长为2

4-3

=2   
②设M（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=4，x₀≠±2，x₀≠0，直线CM：y=

y0-2

x0

x+2，
则D（

2x0

2-y0

，0），直线BM：y=

y0

x0-2

（x-2），
又l_AC：y=x+2AC与BM交点N（

4-2x0-2y0

x0-y0-2

，

-4y0

x0-y0-2

），k_ND=

y0-2

x0+y0-2

，
所以2k_ND-k_MB=2•

y0-2

x0+y0-2

-

y0

x0-2

=

x0y0-2y0-4x0+8-y02

8-y02-4x0+x0y0-2y0

=1为定值．

点评：本题考查直线方程、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．