Question

1．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，若a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，则$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$的最小值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $2\sqrt{5}-2$
• D． 3

Answer 1

分析 利用等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程求出d=2，从而a_n=2n-1，${S_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，进而得到$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}=\frac{{{n^2}+4}}{n+1}=（n+1）+\frac{5}{n+1}-2$，由此能求出结果．

解答 解：∵a₁=1，a₁，a₃，a₁₃成等比数列，
∴（1+2d）²=1+12d，
解得d=2或d=0（舍去），∴a_n=2n-1，
∴${S_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，
∴$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}=\frac{{{n^2}+4}}{n+1}=（n+1）+\frac{5}{n+1}-2$，
n+1=2时原式取得最小值为$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查等差数列中关于前n项和及第n项的代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．