Question

15．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，矩形ABB₁A₁的对角线相交于点G，且侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，AC=CB=BB₁=2，F为CB₁上的点，且BF⊥平面AB₁C．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）求二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BB₁⊥底面ABC，AC⊥BB₁，AC⊥BF，由此能证明AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-B₁C-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵矩形ABB₁A₁的对角线相交于点G，且侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥底面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁，
∵F为CB₁上的点，且BF⊥平面AB₁C，AC?平面AB₁C，
∴AC⊥BF，
∵BB₁∩BF=B，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C（0，0，0），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，2），
设平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
平面B₁CB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角A₁-B₁C-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A₁-B₁C-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．