题目内容
7．
如图，在半径为$10\sqrt{3}（m）$的半圆形（其中O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（注：不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=x（m），圆柱的侧面积为S（m2）、体积为V（m3），（1）分别写出圆柱的侧面积S和体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使得圆柱的侧面积S最大？
（3）当x为何值时，才能使圆柱的体积V最大？并求出最大值．
分析 （1）连结OC，由BC，OC，可得OB，设圆柱底面半径为r，由AB为底面圆的周长，可得半径r，运用圆柱的侧面积公式和体积公式，即可得到所求解析式；
（2）运用配方和二次函数的最值求法，可得侧面积S的最大值及x的值；
（3）求出体积函数的导数，可得单调区间和极值，且为最值，及x的值．
解答 
解：（1）连结OC，因为BC=x，$OC=10\sqrt{3}$．
所以$OB=\sqrt{{{（10\sqrt{3}）}^2}-{x^2}}$，…（1分）
设圆柱底面半径为r，则$AB=2\sqrt{300-{x^2}}=2πr$，
即$r=\frac{{\sqrt{300-{x^2}}}}{π}$，…（2分）
则$S=2x\sqrt{300-{x^2}}（0＜x＜10\sqrt{3}）$…（4分）
$V=π{r^2}x=\frac{{300x-{x^3}}}{π}（0＜x＜10\sqrt{3}）$…（6分）
（2）$S=2x\sqrt{300-{x^2}}=2\sqrt{300{x^2}-{x^4}}=2\sqrt{-{{（{x^2}-150）}^2}+22500}（0＜x＜10\sqrt{3}）$，
所以当x2=150时，即$x=5\sqrt{6}（m）$时，圆柱的侧面积为S为最大…（10分）
（3）∵$V=π{r^2}x=\frac{{300x-{x^3}}}{π}（0＜x＜10\sqrt{3}）$
∴$V'=\frac{{300-3{x^2}}}{π}$，由V'=0解得x=10，…（13分）
又在x∈（0，10）上V'＞0，在$x∈（10，10\sqrt{3}）$上V'＜0，
所以$V=\frac{{300x-{x^3}}}{π}$在（0，10）上是增函数，在$（10，10\sqrt{3}）$上是减函数，
所以当x=10（m）时，圆柱的体积V的最大值为$\frac{2000}{π}（{m^3}）$…（16分）．
点评 本题考查圆柱的侧面积和体积的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法和由导数求单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，矩形ABB1A1的对角线相交于点G，且侧面ABB1A1⊥平面ABC，AC=CB=BB1=2，F为CB1上的点，且BF⊥平面AB1C．| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 1 |
如图，已知AB，AC是圆的两条弦，过B作圆的切线与AC的延长线相交于D．过点C作BD的平行线与AB相交于点E，AE=3，BE=1，则BC的长为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\frac{3}{2}$ |