Question

20．已知函数f（x）=ln（x+1）+ln（1-x）+a（x+1）（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-1，0]上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据x和a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）函数定义域为（-1，1），
a=1时，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{1-x}$+1=$\frac{{-x}^{2}-2x+1}{（x+1）（1-x）}$，
由f′（x）≥0，得x∈（-1，$\sqrt{2}$-1），由f′（x）≤0，得x∈[$\sqrt{2}$-1，1），
∴f（x）的单增区间为（-1，$\sqrt{2}$-1]，单减区间为[$\sqrt{2}$-1，1）；
（2）当x∈（-1，0]时，∵a＞0，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在x∈（-1，0]上单增，
∴f（x）的最大值是f（0）=a=1，
∴a=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．