Question

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间( 

1

2

， 1)内恒有f（x）＜0，则y=f（x）的单调递增区间为

(-∞，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：由题意，可先研究t=2x²+x在区间( 

1

2

， 1)内的取值范围，结合函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间( 

1

2

， 1)内恒有f（x）＜0推断出a的取值范围，确定出外层函数的单调性，再令2x²+x＞0解出函数的定义域，由于内层函数是一个二次函数，找出内层函数在单调区间，由复合函数的单调性即可确定出y=f（x）的单调递增区间

解答：解：令t=2x²+x=2（x+

1

4

）²+

1

8

∵x∈(

1

2

， 1)，故有t∈（

5

4

，

13

4

）
又函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间( 

1

2

， 1)内恒有f（x）＜0
∴a∈（0，1），故函数f（x）=log_a（2x²+x）的外层函数是一个减函数
令2x²+x＞0，解得x＞0或x＜-

1

2

，即函数的定义域是(-∞，-

1

2

)∪（0，+∞）
由于t=2x²+x在(-∞，-

1

2

)上是一个减函数，在（0，+∞）上是一个增函数，由复合函数的单调性知，y=f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

2

)
故答案为(-∞，-

1

2

)

点评：本题考查对数函数的单调性，二次函数的单调性及两者复合的复合函数单调性，解题的关键是理解题意，由函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间( 

1

2

， 1)内恒有f（x）＜0，推断出外层函数是一个减函数，熟练掌握复合函数单调性的判断方法也很关键，本题考查了推理判断能力