Question

.（本题满分12分）
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.
（1）证明：面PBD⊥面PAC；
（2）求锐二面角A—PC—B的余弦值.

Answer 1

1）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC
因为PA平面ABCD，
所有PABD.…………………………2分
又因为PAAC=A，
所以BD面 PAC.……………………3分
而BD面PBD，
所以面PBD面PAC.…………………5分
（2）如图，设ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ.
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ//PA.
因为PA平面ABCD，
所以OQ平面ABCD，……………………………………………………6分
以OA、OB、OQ所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系O
则
………………………………………………………………………7分
因为BO面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为…………………………………8分
设平面PBC的一个法向量为
而
由得
令则
所以为平面PBC的一个法向量.……………………………10分
＜＞……………………12分

略