题目内容

已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，其中a∈R．

(1)若函数f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．

答案：
解析：

　　解：(1)∵f(x)的定义域是R，∴对一切x∈R，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正数，即不等式ax2＋2x＋1＞0对一切x∈R恒成立，其充要条件是解得a＞1．

　　(2)∵f(x)的值域是R，∴u＝ax2＋2x＋1中，u的值的集合是R+．换言之，u能取到所有的正实数．

　　当a＝0时，u＝2x＋1，当且仅当x值的集合是(，＋∞)时，u能取到所有正实数．

　　当a＞0且Δ≥0时，u＝ax2＋2x＋1，当且仅当x值的集合是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(其中x1＝，x2＝)时，u能取到所有正实数．

　　简言之，f(x)的值域是R的充要条件是或a＝0．解得0≤a≤1．


练习册系列答案
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已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函数y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)当a≥时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C，曲线C在点(0,1)处的切线为l，是否存在a使l与曲线C有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a的值；否则，说明理由．

(3)当x≥0时，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

 

已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

 

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．

(1)求a的值和切线l的方程；

(2)设曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围

 

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