Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，得

f′(x)＝3x²＋2ax＋b.

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①

当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，

可得4a＋3b＋4＝0.②

由①、②解得a＝2，b＝－4.

由于l上的切点的横坐标为x＝1，

∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4.

∴c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x³＋2x²－4x＋5，

∴f′(x)＝3x²＋4x－4.

令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝.

x	[－3， －2)	－2
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13.

在x＝处取得极小值f＝.

又f(－3)＝8，f(1)＝4.

∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.   

【解析】略